§ 3. Методы предматематической подготовки

В процессе формирования элементарных математических представлений у дошкольников педагог использует разнообразные методы обучения и умственного воспитания: практические, наглядные, словесные, игровые.. При выборе способов и приёмов работы учитывается ряд факторов: цель, задачи, содержание формируемых математических представлений на данном этапе, возрастные и индивидуальные особенности детей, наличие необходимых дидактических средств, личное отношение воспитателя к тем или иным методам, конкретные условия и т. д. Среди многообразных факторов, влияющих на выбор того или иного метода, определяющими являются программные требования.
В предматематической подготовке дошкольников редко используются методы в «чистом» виде. Обычно они применяются комплексно, в разнообразных комбинациях друг с другом, важно, чтобы они позволяли достигать наилучших результатов при обучении маленьких детей. В формировании элементарных математических представлений ведущим принято считать практический метод. Сущность его заключается в организации практической деятельности детей, направленной на усвоение определенных способов действий с предметами или их заменителями (изображениями, графическими рисунками, моделями и т. д.), на базе которых возникают элементарные математические представления.
Практический метоп, в наибольшей мере соответствует как специфике и особенностям элементарных математических представлений, формируемых у дошкольников, так и возрастным возможностям, уровню развития их мышления, в основном наглядно-действенного и наглядно-образного. В мышлении маленького ребенка отражается прежде всего то, что вначале совершается в практических действиях с конкретными предметами, их изображениями или условными обозначениями.
Согласно теории П. Я. Гальперина происходит это следующим образом: практические и материализованные внешние действия детей, отражаясь в устной речи, переносятся во внутренний план,
Термин «метод» употребляется в двух смыслах — широком и узком Метод может обозначать исторически сложившийся подход к предматематической подготовке в детском саду (монографический метод, вычислительный метод) а также способы и приемы работы воспитателя с детьми.
в мысль. Развитие мысли проходит ряд этапов. На каждом из них с разной глубиной происходит отражение практически производимого материализованного действия.
Характерными особенностями практического метода при формировании элементарных математических представлений являются:
— выполнение разнообразных практических (материальных и материализованных) действий, служащих основой для умственных действий;
— широкое использование дидактического материала;
— возникновение представлений как результата практических действий с дидактическим материалом;
— выработка навыков счета, измерения, вычисления и рассуждения в самой элементарной форме;
— широкое использование элементарных математических представлений в практической деятельности, быту, игре, труде, т. е. в других видах деятельности.
Практический метод предполагает организацию упражнений. В процессе упражнений ребенок неоднократно повторяет практические и умственные действия. Упражнения могут предлагаться детям в форме заданий, организовываться как действия с демонстрационным материалом или протекать в виде самостоятельной работы с раздаточным дидактическим материалом. Используются как коллективные (выполняются всеми детьми одновременно), так и индивидуальные (осуществляются обычно у доски или у стола воспитателя) формы выполнения упражнений.
Коллективные упражнения, помимо усвоения и закрепления знаний, могут использоваться для контроля. Индивидуальные упражнения, выполняя те же функции, служат образцом, на который дети ориентируются в коллективной деятельности. Взаимосвязь между ними определяется не только общностью функций, но и постоянным чередованием, закономерной сменой друг друга. Упражнения должны дифференцироваться по степени сложности с учетом индивидуальных особенностей детей.
Игровые элементы включаются в упражнения во всех возрастных группах: в младших — в виде сюрпризного момента, имитационных движений, сказочного персонажа и т. д.; в старших — приобретают характер поиска, угадывания, соревнования. В таких случаях говорят об игровых упражнениях или упражнениях в игровой форме.
С возрастом детей упражнения усложняются: они уже состоят из большого числа звеньев, учебно-познавательное содержание выступает в них прямо, не маскируясь практической или игровой задачей, во многих случаях для их выполнения требуется проявление смекалки, сообразительности.
Наиболее эффективны комплексные по характеру упражнения, дающие возможность одновременно решать несколько программных задач из разных разделов, органически сочетающихся друг с другом, например: «количество и счет» и «величина»; «количество и
счет» и «геометрические фигуры»; «геометрические фигуры», «величина» и «количество и счет» и т. д. Такие упражнения повышают коэффициент полезного действия занятия, увеличивают его плотность. Содержательность упражнений обеспечивает достаточно высокий уровень умственной нагрузки на дошкольников в процессе всего занятия.
В детском саду широко используются однотипные упражнения, благодаря которым у дошкольников вырабатываются необходимые способы действий. Дети овладевают необходимыми умениями считать, измерять, вычислять. У них формируется круг элементарных математических представлений. При этом постоянно варьируются условия: меняются дидактический материал, форма организации детей, методические приемы и т. д. Благодаря элементу новизны такие упражнения не надоедают дошкольникам. Варьирование несущественных признаков при неизменности существенного является условием успешного формирования элементарных математических представлений.
При подборе упражнений учитывается не только их «сочетаемость» в одном занятии, но и дальнейшая перспектива. Система упражнений на одном занятии должна органично вписываться в общую систему разнообразных упражнений, проводимых в течение года.
Существующая в настоящее время система упражнений для каждой возрастной группы строится на принципе взаимосвязи. Каждое предыдущее и последующее упражнение имеет общие элементы: материал, способы действия, результаты и т. д. Сближаются во времени или одновременно даются упражнения на. усвоение взаимосвязанных и взаимообратных способов действия (наложение — приложение и т. д.), отношений (больше — меньше, выше — ниже, шире — уже и т. д.), арифметических действий (сложение — вычитание, плюс — минус и т. д.).
В упражнениях должны быть предусмотрены все возможные варианты действий, например: сравнение (по количеству предметов) групп, состоящих из 1 и 1, 1 и 2, 2 и 1, 2 и 2, 2 и 3, 3 и 2 и т. д. предметов; измерение одинаковыми мерками разных объектов, одинаковых объектов разными мерками, разных объектов разными мерками; измерение расстояний, объемов и масс жидкостей, сыпучих веществ и т. д. Сталкиваясь при выполнении упражнений с разными случаями проявления одних и тех же математических связей, зависимостей и отношений, ребенок легче и быстрее осознает их и в дальнейшем приходит к обобщению.
Упражнения могут быть репродуктивными, основанными на воспроизведении способа действия, в которых действия детей полностью регламентируются воспитателем в виде образца, предписания, требований, инструкции, правил (алгоритмов), определяющих, что и как надо делать. Строгое следование таким образцам дает определенный положительный результат, обеспечивает правильное выполнение задания, предупреждает возможные ошибки. Ход и результат упражнения находятся под непосредственным наблюдением и контролем воспитателя, который своими указаниями, пояснениями, непосредственной помощью корректирует действия детей.
Обучение счету, измерению, простейшим вычислениям и связанным с ними рассуждениям требует большого количества таких упражнений.
Продуктивные упражнения характеризуются тем, что способ действия дети должны полностью или частично открыть сами. Они развивают самостоятельность мышления, требуют творческого подхода,  вырабатывают  целенаправленность  и целеустремленность. Воспитатель обычно говорит, что надо делать, но не сообщает и не демонстрирует способа действия. При выполнении упражнений ребенок прибегает к мыслительным и практическим пробам, выдвигает предположения и проверяет их, мобилизует имеющиеся знания, учится использовать их в новой ситуации, проявляет сообразительность, смекалку. При выполнении таких упражнений воспитатель оказывает помощь лишь в косвенной форме, предлагает детям подумать и еще раз попробовать, одобряет правильные действия, напоминает об аналогичных упражнениях, которые ребенок уже выполнял, и т. д.
Соотношение продуктивных и репродуктивных упражнений определяется возрастом детей, имеющимся у них опытом решения практических и познавательных задач, характером самих математических представлений и уровнем их развития. С возрастом нарастает степень самостоятельности детей при выполнении  упражнений. Возрастает роль словесных указаний, пояснений и разъяснений, организующих и направляющих самостоятельную деятельность детей. Ребята  учатся, выполнив упражнение, рассказывать, что они делали и, что получилось в результате оценивают правильность своих действий и действий товарищей, осуществляя само- и взаимоконтроль.
При формировании элементарных математических представлений игра выступает как метод обучения и может быть отнесена к практическим методам.
Широко   используются   разнообразные   дидактические игры.
Благодаря обучающей задаче, облеченной в игровую форму (игровой замысел), игровым действиям и правилам ребенок непреднамеренно усваивает определенную «порцию» познавательного содержания. Все виды дидактических игр (предметные, настольно-печатные, словесные и др.) являются эффективным средством и методом формирования элементарных математических представлений у детей во всех возрастных группах. Предметные и словесные игры проводятся на занятиях по математике и вне их, настольно-печатные, как правило, в свободное от занятий время. Все они выполняют основные функции обучения — образовательную, воспитательную и развивающую. Существуют дидактические игры по формированию количественных представлений, представлений о величине, форме, фигурах, пространстве, времени. Таким образом, весьма перспективным является представить каждый раздел программы по «математике» в детском саду системой дидактических игр, служащих для упражнения детей в применении знаний.
Сами знания в виде способов действий и соответствующих им представлений ребенок получает первоначально вне игры, в играх лишь создаются благоприятные условия для их уточнения, закрепления, систематизации. Структура большинства дидактических игр не позволяет сообщить детям новые знания, однако это не означает, что в принципе такое невозможно.
В настоящее время разработана система так называемых обучающих игр. В отличие от существующих они позволяют формировать у детей принципиально новые знания, которые нельзя получить непосредственно из окружающей действительности, так как их содержанием являются абстрактные понятия математики. Основной их целью является подготовка  мышления дошкольника  к восприятию фундаментальных математических понятий: «множество и операции над множествами», «функция», «алгоритм» и т. д. В этих играх используется специфический дидактический материал, подобранный по определенным признакам. Моделируя математические понятия, он позволяет выполнять логические операции: разбиение множества  на  классы, отыскание объектов  по  необходимым и достаточным критериям и т. д. Игры, содержание которых ориентировано на формирование математических понятий, способствуют абстрагированию в мыслительной деятельности, учат оперировать обобщенными представлениями, формируют логические структуры мышления.
Дидактические игры выполняют обучающую функцию успешнее, если они применяются в системе, предполагающей вариативность, постепенное усложнение и по содержанию, и по структуре, связь с другими методами и формами работы по формированию элементарных математических представлений.
При подборе дидактических игр для занятий, индивидуальной работы с детьми воспитатель обращается к разнообразным источникам, использует народные и авторские игры, с предметами и без них.
Особое значение имеют дидактические игры при формировании представлений о пространственных отношениях, форме, величине. Большая часть программных задач из этих разделов решается с помощью дидактических игр.
Дидактические игры могут применяться в качестве одного из методов проведения занятий, индивидуальной работы, быть формой организации самостоятельной познавательной деятельности детей.
Игра как метод обучения и формирования элементарных математических представлений предполагает использование отдельных элементов разных видов игр (сюжетно-ролевой, игры-драматизации, подвижной и т. д.), игровых приемов (сюрпризный момент, соревнование, поиск и т. д.), органическое сочетание игрового и дидактического начала в виде руководящей, обучающей роли взрослого и возрастающей познавательной активности и самостоятельности ребенка.
Наглядные и словесные методы при формировании элементарных  математических  представлений  не  являются самостоятельными, они сопутствуют практическим и игровым методам. Это отнюдь не умаляет их значения в предматематической подготовке детей в детском саду.
При формировании элементарных математических представлений
 широко используются приемы, относящиеся к наглядным, словесным и практическим методам и применяемые в тесной взаимосвязи друг с другом:
1. Демонстрация воспитателем способа действия в сочетании с объяснением. Это основной прием обучения, он носит наглядно-действенный характер, выполняется с помощью разнообразных дидактических средств, дает возможность формировать навыки и умения у детей. К нему, как правило, предъявляются следующие требования:
— четкость, «пошаговая» расчлененность демонстрации;
— согласованность действий со словесными пояснениями;
— точность, краткость и выразительность речи, сопровождающей показ способов действия;
— активизация восприятия, мышления и речи детей.
Этот прием чаще всего используется при  сообщении новых  знаний.
2. Инструкция по выполнению самостоятельных заданий (упражнений). Прием связан с показом воспитателем способов действия  и вытекает из него. Инструкция сообщает, что, как и в какой последовательности надо делать, чтобы получился необходимый результат.
В  старших  группах  инструкция  носит  целостный характер,  дается полностью до выполнения задания, в младших — сочетается с ходом его выполнения, предваряя каждое новое действие.
3. Пояснения, разъяснения, указания. Эти словесные приемы используются воспитателем при демонстрации способов действия или в ходе выполнения детьми задания, чтобы предупредить ошибки, преодолеть затруднения и т. д. Они должны быть краткими, конкретными, живыми и образными.
4. Вопросы к детям. Это один из основных приемов формирования элементарных математических представлений у детей во всех возрастных группах. Они могут быть:
— репродуктивно-мнемические (Что это такое? Какого цвета флажки? Как называется эта фигура? И т. д.);
— репродуктивно-познавательные (Сколько будет на полке кубиков, если я поставлю еще один? Какое число больше (меньше) : 9 или 7? И т. д.);
— продуктивно-познавательные (Что надо сделать, чтобы кружков стало поровну? Как решить эту задачу? Как можно определить, какой по счету красный флажок? И т. д.) .
Вопросы активизируют восприятие, память, мышление, речь детей. При формировании элементарных математических представлений обычно используется серия вопросов, начиная от более простых, направленных на описание конкретных признаков, свойств предметов, результатов практических действий, т. е. констатирующих факты, до более сложных, требующих установления связей, отношений, зависимостей, их обоснования и объяснения, использования простейших доказательств. Чаще всего такие вопросы задаются после демонстрации образца воспитателем или выполнения задания ребенком.
Например, после того как дети разделили бумажный прямоугольник на две равные части, их спрашивают: «Что ты сделал? Как называются эти части? Почему каждую из этих двух частей можно назвать половиной? Какой формы получились части? Как доказать, что получились квадраты? Что надо сделать, чтобы разделить прямоугольник на четыре равные части?» .
Разные по характеру вопросы вызывают различный тип познавательной деятельности: от репродуктивной, воспроизводящей изученный материал, до продуктивной, направленной на решение проблемных задач.
Выделим некоторые основные требования к вопросам воспитателя как методическому приему:
— точность, конкретность и лаконизм;
— логическая последовательность;
— разнообразие формулировок, т. е. об одном и том же следует спрашивать по-разному;
— оптимальное соотношение репродуктивных и продуктивных вопросов в зависимости от возраста детей, изучаемого материала;
— вопросы должны будить мысль ребенка, развивать его мышление, заставлять задумываться, анализировать, сравнивать, сопоставлять, обобщать;
— количество вопросов должно быть небольшим, но достаточным, чтобы достичь поставленную дидактическую цель;
— следует избегать подсказывающих и альтернативных вопросов, умело пользоваться дополнительными вопросами.
Вопросы следует рассматривать как эффективное средство активизации познавательной деятельности детей при формировании у них элементарных математических представлений. Они предлагаются обычно всей группе, а ответ дает один ребенок. В отдельных случаях возможны и групповые ответы, что характерно для младших дошкольников. Детям необходимо давать возможность обдумывать ответ, поэтому, после того как вопрос задан, следует делать небольшие паузы.
Старших дошкольников необходимо учить формулировать вопросы самостоятельно. В конкретной ситуации, используя дидактический материал, воспитатель предлагает детям ставить вопросы О количестве предметов, порядковом месте предмета среди других,
0 размере, форме, .способе измерения и т. д. Педагог учит правильно формулировать вопросы по результатам непосредственного сравнения отдельных предметов, групп предметов и т. д., при том дети успешнее овладевают умением задавать вопросы в тех случаях, когда они адресуются конкретному лицу — воспитателю, товарищу, родителям.
Отметим также методические требования к ответам детей. Ответы должны быть:
— краткими или полными в зависимости от характера вопроса;
— самостоятельными и осознанными;
— точными, ясными, достаточно громкими;
— грамматически правильными.
В работе с дошкольниками воспитателю часто приходится прибегать к приему переформулировки ответов, придавая им правильную форму («На полке грибов четыре»,— говорит малыш. «На полке четыре гриба»,— уточняет воспитатель). Переформулировка ответа  данном случае — это его исправление, сочетающееся с предложением повторить правильный ответ.
5. Словесные отчеты детей. Этот методический прием складывается из вопроса воспитателя, требующего после выполнения упражнения детьми рассказать, что и как они делали и что поручилось в итоге, и собственно детских ответов на вопрос. Слово помогает вычленить действие, осмыслить результат. На первых Ворах педагог помогает детям, дает образец отчета, постепенно И>ни самостоятельно рассказывают о своих действиях, оперируя математическими представлениями.
6. Контроль и оценка. Эти приемы выступают в тесной взаимосвязи друг с другом.
Контроль осуществляется при наблюдении за процессом выполнения детьми заданий, результатами их действий, ответами. Он сочетается с указаниями, пояснениями, разъяснениями, демонетизацией способов действий взрослым в качестве образца, непосредственной помощью, включает исправление ошибок.
Исправление ошибок педагог осуществляет в ходе индивидуальной и коллективной работы с детьми. Исправлению подлежат Практически-действенные и словесно-речевые ошибки. Воспитатель «должен разъяснять причины ошибок, обращать внимание на образец в своей речи или в качестве примера использовать лучшие действия
1 и ответы других ребят. Постепенно педагог начинает сочетать  контроль с само- и взаимоконтролем. Зная типичные ошибки, которые допускают дети при счете, измерении, простейших вычислениях и т. д., воспитатель предупреждает их появление.
Оценке подлежат способы и результаты действий, поведение ребят. Оценка взрослого, приучающего ориентироваться по образцу, сочетается с оценкой товарищей и самооценкой. Этот при» м используется по ходу и в конце выполняемых упражнений, проводимых игр, занятий.
Использование контроля и оценки имеет свою специфику  зависимости от возраста детей и степени овладения ими знаниями и способами действий. Контроль с процесса действий постепенно переносится на результат, оценка становится более дифференцированной и содержательной. Эти приемы, кроме обучающей, выполняют и воспитательную функцию: воспитывают доброжелательное отношение к товарищу, желание и умение ему помочь, активность и т. д.
7. В ходе формирования элементарных математических представлений такие их компоненты, как сравнение, анализ, синтез, обобщение, выступают не только как познавательные процессы, или операции, но и как методические приемы, определяющие тот путь, по которому движется мысль ребенка при обучении, познании нового.
В основе сравнения лежит установление сходства и различий между  объектами.  Дети  сравнивают  предметы  по количеству, форме, величине, пространственному расположению, интервалы времени — по длительности и т. д. Вначале их учат сравнивать минимальное количество предметов, затем число таких предметов посте пенно увеличивают одновременно с уменьшением степени контрастности сравниваемых признаков. Методический прием сравнения, к которому педагог часто прибегает в процессе формирования элементарных математических представлений у детей, связан с анализом и синтезом.
Анализ — это движение мысли от целого к его частям, синтез — от частей к целому. Эти компоненты являются составной частью развития у детей задатков дедуктивного и индуктивного способов мышления. Они выступают в единстве. Примером использования анализа и синтеза как методических приемов может служить формирование у детей представлений о понятиях «много» и «один», которые возникают под влиянием наблюдения и практических действий с предметами.
Так, например, распределив среди малышей столько одинаковых игрушек, сколько детей, а затем собрав игрушки вместе, педагог показывает ребятам, что группа предметов, т. е. «много», состоит из отдельных предметов, из отдельных предметов воссоздается вся группа.
На основе анализа и синтеза детей подводят к обобщениям, в которых обычно суммируются результаты наблюдений и действий. Этот прием направлен на осознание количественных, пространственных и временных отношений, выделение главного и существенного. Обобщение проводится обычно в конце каждой части занятия, а также и в конце всего занятия с ведущей ролью воспитателя.
Сравнение,   анализ,   синтез,   обобщение   осуществляются на
122 наглядной основе с привлечением разнообразных дидактических средств. Наблюдение, практические действия с предметами, отражение их результатов в речи, вопросы к детям являются внешним выражением этих методических приемов, которые тесно между собой связаны и используются комплексно.
8. В методике обучения приемами называют также некоторые Специальные практические или умственные действия, на основе которых у детей формируются элементарные математические представления. К таким приемам традиционно относят: наложение и Приложение предметов; обследование формы предмета; «взвешивание» предмета «на руках»; использование фишек-эквивалентов; считывание и отсчитывание по единице и т. д.
Но сравнению с другими данные приемы имеют узкоспециальное назначение, применяются для решения строго определенных дидактических задач. Реализация каждого программного требования осуществляется с помощью таких приемов, количество которых должно быть достаточно для достижения дидактической цели, а область применения ограничена.
9. Моделирование — наглядно-практический прием, включающий создание моделей и их использование для формирования элементарных математических представлений.
Модели следует рассматривать и как эффективное дидактическое средство. «...При овладении способами использования моделей перед детьми раскрывается область особых отношений — отношений моделей и оригинала, и соответственно формируются два тесно связанных между собой плана отражения — план реальных объектов и план моделей, воспроизводящих эти объекты» .
Эти планы отражения имеют принципиально важное значение для развития наглядно-образного и понятийного мышления. Модели
 могут   выполнять   разную   роль:   одни,   воспроизводя внешние
 связи, помогают ребенку увидеть те из них, которые он самостоятельно не замечает, другие воспроизводят искомые, но скрытые  связи, непосредственно не воспринимаемые свойства вещей. Широко используются модели при формировании: временных представлений (например, модель частей суток, недели, года, календарь); количественных представлений (например, числовая лесенка, числовая фигура и т. д.); пространственных представлений (например, модели геометрических фигур и т. д.). При формировании элементарных математических представлений применяются в основном предметные, предметно-схематические, графические модели.
В настоящее время положено лишь начало теоретической и  конкретно-методической  разработке этого  приема, являющегося чрезвычайно перспективным в силу следующих факторов:
а) математические понятия  рассматриваются как своеобразные модели реальной действительности;
б) в  процессе  формирования  элементарных математических представлений у детей от педагога постоянно требуется создание материальных конструкций, представляющих в конкретно чувственной форме математические понятия;
в) дошкольник располагает некоторыми психологическими предпосылками для введения отдельных моделей и элементов моделирования: развитие наглядно-действенного и наглядно-образного мышления, способность к замещению;
г) использование моделей и моделирования ставит ребенка в активную позицию, стимулирует познавательную деятельность.
Использование моделей и моделирования естественно должно сочетаться с другими приемами обучения, при этом воспитатель, владея разнообразными методами и приемами, имеет в виду главную задачу их использования и творческого применения — осуществление предматематической подготовки дошкольников.