Сформированное в младшем дошкольном возрасте (2—4 года)  умение анализировать множества предметов с точки зрения их численности, видеть последовательность и различия по качественным  и количественным признакам, представление о равенстве и неравенстве предметных групп, умение должным образом отвечать  на вопрос «сколько?» (столько же, здесь больше, чем там) является основой овладения счетом.
В среднем дошкольном возрасте (пятый год жизни) в процессе сравнения двух групп предметов, выделения их свойств, а так же счета у детей формируется представление о числе, позволяющее дать точную количественную оценку совокупности. Они овладевают приемами и правилами счета предметов, звуков, движений
 (в пределах 5).
Для формирования у детей представлений о натуральном ряде  чисел (последовательности, месте числа) их знакомят с образованием числа (в пределах 5) в процессе сравнения двух множеств предметов и увеличения или уменьшения одного из них на  единицу.
На протяжении всего этого периода обучения уделяется большое внимание сравнению множеств предметов по количеству составляющих их элементов (как без счета, так и в сочетании со счетом), уравниванию множеств, отличающихся одним элементом,  установлению взаимосвязи отношений «больше — меньше» (если мишек меньше, то зайцев больше).
В средней группе дети, овладев умением считать предметы,  звуки, движения, отвечать на вопрос «сколько?», учатся определять порядок следования предметов (первый, последний, пятый), ? отвечать на вопрос «который?», т. е. практически пользоваться количественным и порядковым счетом.
В процессе обучения у детей формируется умение воспроизводить множества, отсчитывая предметы по образцу, по задан ному числу из их большего количества, запоминать числа.
В ходе специальных упражнений по овладению счетом у детей формируется представление о числе как общем признаке разнообразных множеств (предметов, звуков). Они убеждаются в независимости числа от несущественных признаков (например, цвета, занимаемой площади, размеров предметов и др.), используют различные способы получения равных и неравных по количеству групп. Дети учатся видеть идентичность (тождественность), обобщать по числу предметы множеств (столько же, по четыре, пять, такое же количество, т. е. число).
Обучение детей среднего дошкольного возраста направлено на формирование представлений о первых пяти числах натурального ряда (порядке их следования, зависимости между смежными числами: больше, меньше), выработку умения пользоваться ими в различных бытовых и игровых ситуациях.
В процессе практических действий с множествами предметов счета и сравнения дети овладевают словами и выражениями: число, здесь столько же, тоже три, первый, пятый, последний, пара; разложил в ряд, подложил один предмет под другой, составил пары, добавил один .... убрал один..., стало меньше, сосчитал, отсчитал столько, сколько нарисовано... и др. При этом они упражняются в построении простых и сложных предложений с союзами и, а, если, то, объяснении своих действий, умении задавать простые вопросы со словом сколько о количестве предметов в комнате, на картине.
В средней группе дети учатся выражать в речи не только результат своих действий, т. е. отвечать на вопрос «Что ты сделал?», но и способ выполнения действия. Сначала по вопросам педагога, а затем самостоятельно дошкольники отвечают на вопрос «Как ты выполнил задание?». Освоение содержания учебного материала способствует осмыслению детьми выражений, употребляемых педагогом: «Сравни по количеству», «Какое из чисел больше?», «Если звуков столько же, сколько предметов, то сколько их?», «Равны по количеству», «Не равны».
О степени понимания таких вопросов свидетельствует характер и результативность практических действий, выполняемых детьми по заданиям педагога. Содержание и методика обучения счету
В период дочислового обучения формируется чувственная основа дальнейшего овладения счетом: расчлененное восприятие совокупности, практическое установление поэлементного соответствия, общая количественная оценка, что стимулирует потребность в определении некоторого количества предметов конкретным числом. Многие дети еще до систематического обучения счету пользуются числами при определении небольших совокупностей (в пределах 2—4).
Одна из основных программных задач обучения детей пятого года жизни состоит в формировании у них умения считать, выработке соответствующих навыков и на этой основе развитии представления о числе.
Счет как деятельность с конечными множествами включает следующие структурные компоненты: цель (выразить количество предметов числом), средства достижения (процесс счета, состоящий из ряда действий, отражающих степень освоения деятельности), результат (итоговое число).
Наибольшую сложность для детей представляет достижение результата счета, т. е. итог, обобщение. Выработка умения отвечать на вопрос «сколько?» словами много, мало, один, два, столько же, поровну, больше, чем... ускоряет процесс осмысления детьми значения итогового числа при счете.
В ходе упражнений по обучению счету необходимо сформировать у детей умение соотносить называемое по порядку число с одним из предметов, не пропускать предметы, числа и не называть их повторно. Дошкольники должны усвоить, что последнее из названных при счете чисел дает ответ на вопрос о количестве предметов в пересчитываемой группе.
Формирующееся у детей представление о числе многопланово: число как показатель мощности множества, итог счета, порядок следования и место в общей последовательности чисел, количественное значение.
Обучение счету путем поэлементного сопоставления двух предметных  множеств  помогает  подготовить детей  к познанию
отношений между числами.
С целью предупреждения ошибок у детей (пропуск чисел и предметов, повторение счетных действий в ответ на вопрос «сколько?», использование слова раз и др.) довольно длительный период обучения счету делят на два этапа.
Цель первого этапа состоит в ознакомлении детей с назначением счета, обучении умению отвечать на вопрос «сколько?», называя при этом последнее при счете число. Счет предметов, предварительное сравнение их (1 и 2, 3 и 2, 3 и 4) осуществляет педагог, а дети, наблюдая процесс счета, отвечают на вопросы: «Сколько всего кукол? мишек? По скольку мишек и кукол? (Поровну, по три.) Чего больше (меньше)?»
В ходе таких упражнений педагог переводит детей от дочислового сравнения к сравнению с помощью чисел: «Кукол две, а мишек три. Кукол меньше, чем мишек. Число 2 меньше числа 3». Для закрепления материала достаточно провести четыре-пять таких упражнений на двух-трех занятиях.
Цель второго этапа обучения состоит в формировании у детей счетных умений, знакомстве с образованием каждого следующего числа на основе добавления предмета к одному из сравниваемых множеств.
Наглядный материал для обучения подбирается с учетом доступности выделения детьми качеств, признаков и свойств предметов. Сначала используются предметы, имеющие качественные различия (большие и маленькие, красные и зеленые яблоки), затем отличающиеся родовыми признаками (яблоки и груши). Это могут быть игрушки, объекты окружения, их изображения, модели геометрических фигур и т. д.
Упражнениям по обучению счету предшествуют анализ состава предметов,  выделение общих признаков, способа расположения (как правило, по рядам). В процессе обучения счету постоянно варьируются задания, оценивается равное и неравное количество предметов   (2  и  3,  3  и  3,   3  и  4  и  т.   д.).   При ознакомлении со счетом для каждого нового числа показывается способ его получения. В ходе объяснения в сочетании с показом воспитатель знакомит детей с правилами счета: показывая рукой предметы, начиная от первого, т. е. расположенного слева, одновременно следует называть последовательно числа. После называния числа, соответствующего последнему в ряду предмету, важно акцентировать внимание детей с помощью кругового движения рукой и ответить на вопрос «сколько?». Числа называются четко, строго в порядке следования, а сами пересчитываемые предметы не называются. Называть предметы следует лишь при подведении итога счета («Всего 5 квадратов»). В самом начале обучения счету следует обращать внимание детей на необходимость соотнесения первого в ряду предмета с числом один, а не со словом раз, что имеет место в считалках, быту.
В ходе освоения счета у детей возникают трудности в согласовании числительных с существительным в роде, числе, падеже (в процессе счета, при подведении итога). Эти ошибки закономерны. Исправлению их способствует использование педагогом таких приемов, как пояснение, правильный подбор наглядного материала, постоянное варьирование его на одном и том же занятии, внимание и контроль за счетной деятельностью детей. В случае ошибки полезно предложить ребенку назвать один из перечисленных предметов и выбрать нужное слово: один, одна или одно, а также подумать, как он скажет о двух предметах: два или две.
В начальный период обучения обращается внимание на выработку умений считать слева направо, брать предметы по одному правой рукой и раскладывать их слева направо. Это обстоятельство необходимо для дальнейшего обучения письму, чтению, хотя в определении количества особой роли не играет.
Обучение счету сопровождается беседами с детьми о назначении, применении счета в разных видах деятельности. Постепенно дошкольники переходят к пересчитыванию предметов быта, игрушек. Воспитатель должен стремиться к тому, чтобы счет использовался детьми повсеместно и число наряду с количественными и пространственными признаками предметов помогало бы детям лучше ориентироваться в окружающей действительности.
В ходе знакомства детей с образованием каждого из чисел натурального ряда в пределах 5 обращается их внимание на способ получения нового (большего) числа путем добавления одного предмета. Берутся две группы предметов (елки и грибы), сравниваются (столько, сколько, поровну, по три, одинаково по количеству). Затем добавляется один предмет (вырос еще один гриб), выясняется, чего больше или меньше (грибов больше, чем елок, елок меньше, чем грибов). Что нужно сделать, чтобы узнать, сколько стало грибов? Демонстрируется способ счета в пределах 4. После этого обе совокупности вновь сравниваются. Подчеркивается, что елок осталось прежнее количество (3), а количество грибов увеличилось,  их стало больше — 4, так как добавили еще один гриб.
Чтобы подготовить детей к усвоению общего принципа образования любых чисел, следует упражнять их в получении меньшего числа из большего. Педагог заостряет внимание ребят на  способе получения числа: «Сколько было предметов? Сколько стало?  Что нужно сделать, чтобы стало два вместо трех?» Обучение детей счету осуществляется в ходе выполнения действий по увеличению и уменьшению пересчитываемых и сравниваемых множеств на один элемент.
Счет в пределах 5 усваивается детьми на трех-четырех занятиях.  Вся последующая работа в средней  группе способствует  закреплению счетных умений, формированию навыков и представлений о числах.
(  В средней группе дети овладевают порядковым счетом, т. е. умением определять место какого-либо предмета среди других при условии расположения их в ряд. Для этого необходимо научиться различать вопросы «сколько?», «который?», «какой по порядку?».      Пониманию и осмыслению детьми порядкового значения числа  способствует расположение предметов в строго определенном порядке. Это может быть набор матрешек разных размеров, лесенка, составленная из кубиков, пластин, иллюстративный материал к сказкам «Три медведя», «Репка» и др. В этом случае необходимость определения порядкового номера объекта мотивирована. Порядок следования (первый, второй...) выявляется с опорой на дополнительный признак: размер, цвет и др. Поэтому начальные упражнения по обучению детей порядковому счету следует проводить на наглядном материале, представляющем собой упорядоченный ряд, исходя из того что сериация по  признаку качества является одной из предпосылок формирования понятия о порядковом числительном, числе в целом. Для обучения создается определенная  ситуация:   матрешки   идут  на  прогулку,  дети пошли в лес и т. д. Определяется   порядковый номер и качественный признак (имя, рост, размер): «Первая девочка в красном платье, она самая высокая, вторая — в зеленом, она пониже» и т. д.
Формированию навыка счетной деятельности, обобщению представлений о числе способствуют упражнения в сосчитывании звуков, движений, предметов по осязанию. Сначала дети овладевают умением считать звуки, движения, производимые воспитателем с помощью игрушки. (Сколько раз квакнула лягушка, подпрыгнул зайка?) Затем они считают звуки, движения, выполняемые ими самостоятельно, проговаривая числа вслух, а в дальнейшем шепотом и про себя, учатся запоминать числа.
В работе по сопоставлению двух множеств используются непересекающиеся множества (яблоки и груши, елки и грибы и т. п.).
Звуки и движения должны быть ритмичны, разнообразны, интересны: удары в барабан, бубен, стук в дверь, проговаривание одного и того же слова, хлопки над головой, прыжки, подбрасывание мяча и др. Лучше, если источник звука скрыт от детей ширмой, дверью. Возможен счет на слух, с закрытыми глазами, что обостряет деятельность слухового анализатора.
В качестве подготовки детей к счету звуков и движений уместны упражнения в попарном соотнесении звуков или движений с предметами, воспроизведение одного множества в другом (на каждый звук возьми предмет, положи перед собой столько же игрушек, сколько насчитал движений).
При счете движений, предметов по осязанию иногда имеет место неадекватное отражение их количества в числе. Дети, считая одно движение, называют два числа (подъем рук вверх и опускание их вниз). В ходе обучения необходимо пояснять, что название числа должно совпадать с определенным моментом осуществления движения, например при подбрасывании мяча, когда он находится вверху, в полете.
Счет предметов по осязанию — интересное и развивающее упражнение. Вначале он носит игровой характер: взять, достать из «чудесного мешочка» определенное количество одинаковых мелких предметов, кубиков, матрешек. В дальнейшем дети считают предметы, зафиксированные неподвижно на плоскости (линейно расположенные: грибы на подставке, пуговицы, нашитые на картон, и т. д.). Наглядный материал после предварительного рассматривания закрывается салфеткой и пересчитывается. Правила счета те же: считать правой рукой, ведя ее по предметам слева направо, называя число в момент фиксации рукой предмета, левой рукой поддерживать карточку. Итоговое число называется сразу по окончании счета.
Наиболее сложным для детей средней группы является счет по осязанию, а в дальнейшем и отсчет мелких предметов, не зафиксированных на плоскости, так как он связан с передвижением их слева направо, что исключает повторение счета. Числа произносятся, когда передвижение предмета уже закончено. Считаются предметы, а не движения руки. Задания, наглядный материал разнообразятся, показывается практическая необходимость счета.
В процессе занятия счет с включением деятельности различных анализаторов сочетается с отсчетом, воспроизведением различных совокупностей по образцу и заданному числу.
Отсчитывание определенной части множества осуществляется по тем же правилам, что и счет. По предложенному образцу (набор предметов, счетная карточка, числовая фигура) отсчитывается такое же количество предметов на основе зрительного восприятия или по осязанию. Уточняется смысл слов сосчитал и отсчитал.
При сосчитывании определяется число элементов в множестве, а при отсчитывании из большего числа элементов берется определенная часть, тождественная образцу или названному числу.
Дифференциация действий сосчитывания и отсчитывания ведется по вопросам: «Что вы сделали: сосчитали или отсчитали? Как узнали, сколько предметов надо было отсчитать? Сколько предметов отсчитали?» (Столько же, сколько кругов на карточке, пять; столько же, сколько звуков услышал.)
По мере овладения отсчитыванием дети начинают им широко пользоваться при выполнении действий с раздаточным материалом, что ускоряет процесс выполнения заданий.
В средней группе продолжается работа по формированию представлений о независимости числа предметов от их несущественных признаков: цвета, формы, размера, расстояния между ними, занимаемой площади, расположения их в пространстве. В ходе обучения сравниваются между собой равночисленные и неравпочисленные множества по одному из указанных, а затем и по двум-трем признакам.
Множества предметов располагают в пространстве в зависимости от поставленной цели таким образом, чтобы была необходимость соотносить их, перекладывать, накладывать один на другой для доказательства равночисленности, а в дальнейшем — неравночисленности.
Так, в упражнениях на демонстрацию независимости количества предметов от занимаемой ими площади предметы одной совокупности раскладываются по горизонтали на близком расстоянии друг от друга, второй — на более далеком расстоянии (в зависимости от размеров доски, стола). Вначале выделяется общий признак предметов, входящих в каждую из совокупностей. Затем дети по заданию педагога находят отличительные признаки. Это может быть цвет, цвет и размер и т. д. Особо подчеркиваются различия в расстоянии между предметами, а отсюда и в занимаемой каждой совокупностью площади, т. е. в плотности и длине ряда. Количество несущественных признаков в подобных упражнениях нарастает в зависимости от степени усвоения учебного материала детьми. Первые упражнения следует проводить с использованием однородного материала, при этом подчеркивается, что различие между множествами лишь одно — занимаемая площадь.
После противопоставления (одни предметы расположены близко один к другому, поэтому они занимают мало места, и наоборот)педагог предлагает детям найти способ определения равенства или неравенства по количеству предметов: «Как вы считаете, поровну их или нет? Как это доказать? (Вначале используются приемы наложения или приложения, затем сосчитывание.) В чем вы убедились?   (Одних   столько   же,   сколько   и   других,   по четыре.)»
Затем восстанавливается первоначальное расположение предметов: «Почему на первый взгляд кажется, что этих предметов (указывается) больше (меньше) по количеству?» Дети объясняют кажущееся неравенство различием в способе расположения, занимаемой ими площади.
При подведении итога педагог подчеркивает возможность подобного расположения предметов, необходимость практического сопоставления их с целью определения равенства или неравенства,
сосчитывания, независимость количества от способа расположения предметов в пространстве.
В ходе обучения необходимо использовать таблицы, карточки с различным расположением предметов. В этом случае дети используют еще один опосредованный способ доказательства соответствия или несоответствия: предметы — заместители объектов, эквиваленты.
Педагог подводит их к самостоятельному нахождению такого способа: «Мы не можем взять предметы и подложить один под другой. Как же, кроме сосчитывания, можно узнать, поровну их или нет?» В случае затруднения предлагает детям использовать эквиваленты. Нужно соотнести фишки с первым множеством и, убедившись в равенстве (взяли столько же, тоже четыре), проделать  то   же  самое  со   вторым,   используя   тот   же материал.
Чтобы научить детей разным способам расположения одного и того же количества предметов, используется (наряду с другими пособиями) карточка, деленная на 2—4 части, на которой одно из множеств зафиксировано. Необходимо, чтобы ребенок, определив количество элементов множества, самостоятельно разложил по-иному еще несколько равночисленных совокупностей и объяснил, как это делается.
Воспитанники средней группы вначале обобщают два множества по числу, а затем три и четыре множества. Постепенно усложняется и наглядный материал: от обобщения по видовым признакам переходят к обобщению по родовым признакам. Одно, а затем и два из обобщаемых множеств могут быть представлены в звуках, движениях: «По скольку больших и маленьких мячей? По скольку игрушек и звуков? По скольку звуков, игрушек и кругов? Найди столько кругов и квадратов, сколько было движений».
Итак, в ходе многократных упражнений дети убеждаются, что подлежащие количественной оценке совокупности могут отличаться одна от другой (иметь сходство) по различным пространственно-качественным показателям, что не влияет на число. Наиболее совершенный способ определения равенства или неравенства при этом — сосчитывание и определение общности (столько же, четыре) или различий (больше — меньше) по числу элементов. Подобные упражнения сочетаются с воспроизведением различных множеств, обобщением их по числу, определением различий. Обучение сравнению множеств
В средней группе детей обучают сравнивать множества, чтобы определить равенство или неравенство по числу. Дошкольники осваивают практические способы уравнивания множеств. Они добавляют или удаляют один из предметов, делая из неравных множеств равные и т. п. Сравниваются множества, выраженные в смежных числах, что дает возможность вычленить количественные отношения между числами натурального ряда. Допустимы упражнения в сравнении множеств с отличием в 2—3 элемента. В ходе занятий дочисловое сравнение с выделением отношений («больше — 168 меньше», «поровну») сочетается с выражением результатов сравнения в числах.
Воспитатель создает ситуацию, где требуется установить соответствие, увеличить или уменьшить множество на 1, установить отношения. Он направляет практические действия детей, ведущие к рассуждению, объяснению правильности и необходимости выполнения действий.
Упражнениям придается, как правило, игровой характер. Кроме этого, целесообразны дидактические задания детям: отсчитать и отложить на карточке определенное количество предметов, убрать или добавить предмет и т. д.
С целью выражения в речи понятия равенства задаются вопросы: «По скольку предметов в первом и втором рядах? Что можно сказать о количестве тех и других? (Поровну, столько же, по четыре, одинаково по количеству.) Как мы узнали, что предметов поровну? (Приложили, сосчитали)». Необходимо постепенно подводить детей к пониманию того, что, если будет установлено взаимно однозначное соответствие двух множеств, число .элементов одного из них можно назвать, не сосчитывая их. Например: «У каждого из зайцев по барабану, зайцев пять. Сколько же барабанов? (Тоже пять, столько же.)» Или: «Если над каждым квадратом лежит кружок, то мы, сосчитав только квадраты, можем сказать, сколько кружков. Их будет столько же, сколько квадратов».
Подобные упражнения помогают детям сделать вывод о равенстве при условии соответствия элементов («один к одному») и счета предметов лишь одного множества.
Необходимо приучать детей понимать взаимосвязь отношений «больше» и «меньше»: если в одном из множеств меньше элементов, то в другом обязательно будет больше, чем в первом, и наоборот (на один или несколько элементов). При анализе результатов4 сравнения дети пользуются словами больше, чем; меньше, чем. Варианты детских ответов на вопросы педагога: «Что можно сказать о количестве тех и других? Каких предметов больше, каких меньше?» — могут быть различны: «Грибов больше, чем елок. Елок меньше, чем грибов. Грибов четыре, а елок три. Елок всего три, а грибов четыре. Три меньше, а четыре больше».
От сравнения множеств в числовом выражении осуществляется переход к сравнению чисел в конкретной практической ситуации: «Мы выяснили, что грибов больше, их четыре, а елок меньше, их три (при этом показываются предметы). Какое число больше (меньше): 3 или 4?» В обобщении педагог подчеркивает, что число 3 меньше, чем 4, а 4 больше, чем 3.
Дети используют различные способы выявления равночисленности и неравночисленности путем раскладывания предметов по горизонтальным и вертикальным рядам, наложения, составления пар, проведения линий (возможно, и условных) от одного предмета к другому. Практический способ выбирается, исходя из целесообразности применения его в конкретной ситуации. Детям можно предложить найти другие, еще неизвестные им способы сравнения. Элементы первого множества раскладываются сверху вниз (в столбик), а затем к ним справа и слева прикладываются элементы второго множества.
Широко применим в практике обучения прием составления пар: «Можно ли построить в пары мальчиков и девочек? Как мы это будем делать? Что узнаем, если все дети встанут парами? А если кто-то будет лишним, что узнаем при этом? Для чего нужно составить пары? Сколько детей в паре?» Можно располагать предметы парами по горизонтали, вертикали или вразброс (на плоскости доски, фланелеграфа).
Возможно соединение одного предмета с другим линией: ботинок и шнурок, лампочка и настольная лампа и т. д. Проведение линий от одного изображения к другому обнаруживает равенство или неравенство.
Итак, в средней группе под влиянием обучения формируется счетная деятельность, умение считать различные совокупности предметов в разных условиях и взаимосвязях. У детей вырабатывается понимание числа как количественной характеристики совокупности, умение выделять число как общий признак, свойственный нескольким множествам (попарно эквивалентным независимо от природы их элементов). Дети постепенно овладевают умением сравнивать множества по количеству образующих их элементов путем соотнесения их один к одному и по числу.